A parte final da exposição apresenta citações e teoremas relevantes sobre as variedades de dimensão 2 e 3.

Começamos com a seguinte citação de H. Poincaré:

"Uma geometria não é mais verdadeira que outra, ela somente pode ser mais conveniente..."

Depois apresentamos o enunciado dos teoremas de classificação de superfícies, acompanhados de figuras explicativas.

Teorema (A.F. Moebius, 1869, e C. Jordan, 1866)
"Toda superfície fechada e orientável pode ser deformada para corresponder a uma soma conexa de g toros, para g >= 0."

Teorema de Uniformização (H. Poincaré, P. Koebe, 1907)
"Qualquer superfície fechada e orientável admite uma das estruturas geométricas: esférica (S2), plana (E2) ou hiperbólica (H2).”

Em seguida mostramos os teoremas para o caso de variedades de dimensão 3, que foram provados por Perelman em 2002.

Conjectura (H. Poincaré, 1900)
"Toda 3-variedade fechada e simplesmente conexa é homeomorfa a 3-esfera."

Teorema da Geometrização (Thurston, Perelman 2002)
"Toda variedade tridimensional pode ser cortada ao longo de superfícies e decomposta em variedades de dimensão 3 passíveis de formação em uma das seguintes geometrias: S3, E3, H3, S2xR, H2xR, SL(2,R), Nil, Sol."

Finalmente, colocamos uma citação notável de M. Morse que, cerca de 70 anos antes, antecipava como esses problemas seriam resolvidos.

"Qualquer problema de natureza não-linear, que envolva mais de um sistema de coordenadas ou mais de uma variável, ou cuja estrutura seja inicialmente definida em termos globais, provavelmente vai requerer para a sua solução considerações de Topologia e Teoria dos Grupos. Na resolução de tais problemas, a análise clássica aparece frequentemente como um instrumento local, integrado ao problema como um todo através da Topologia ou Teoria dos Grupos.”